8.-Semejanza, congruencia y autosimilitud
Semejanza, congruencia y autosimilitud
La geometría es una rama de las matemáticas que nos ayuda a entender y describir las formas y sus propiedades. Dentro de esta disciplina, los criterios de congruencia y
semejanza son fundamentales para resolver problemas y establecer relaciones entre figuras geométricas.
¿Qué son los criterios de congruencia?
Los criterios de congruencia se utilizan para determinar si dos figuras geométricas son congruentes, es decir, si tienen la misma forma y tamaño. Esto implica que una figura puede ser superpuesta a la otra mediante traslaciones, rotaciones o reflexiones. Existen varios criterios que facilitan esta tarea, cada uno aplicable a diferentes tipos de figuras. Los principales criterios de congruencia son:
- CPCTC (Correspondencia de Puntos, Círculos y Triángulos Congruentes): Este criterio establece que si dos triángulos son congruentes, sus lados y ángulos correspondientes son iguales.
- Congruencia por Lado-Lado-Lado (LLL): Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales.
- Congruencia por Lado-Ángulo-Lado (LAL): Dos triángulos son congruentes si tienen un lado igual, el ángulo comprendido es igual y el otro lado es igual.
- Congruencia por Ángulo-Lado-Ángulo (ALA): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y el lado entre ellos también es igual.
- Congruencia por Ángulo-Ángulo-Lado (AAL): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos iguales y un lado no comprendido igual.
1 Congruencia por Lado-Lado-Lado (LLL)
El criterio de congruencia LLL es uno de los más sencillos y directos. Si conoces las longitudes de los tres lados de dos triángulos y estas longitudes son iguales, entonces puedes afirmar que los triángulos son congruentes. Por ejemplo, si tienes un triángulo ABC con lados de 5 cm, 7 cm y 10 cm, y un triángulo DEF con lados de 5 cm, 7 cm y 10 cm, estos dos triángulos son congruentes según el criterio LLL.
Este criterio es muy útil en la resolución de problemas geométricos, ya que a menudo es más fácil medir longitudes que calcular ángulos. Sin embargo, es importante recordar que la congruencia no implica que las figuras deban estar orientadas de la misma manera; pueden ser reflejadas o rotadas.
2 Congruencia por Lado-Ángulo-Lado (LAL)
El criterio LAL es otro método efectivo para establecer la congruencia entre triángulos. Si un triángulo tiene un lado que mide lo mismo que un lado de otro triángulo, y además el ángulo comprendido entre esos dos lados es igual, y el otro lado también es igual, entonces podemos concluir que ambos triángulos son congruentes.
Por ejemplo, considera un triángulo GHI donde el lado GH mide 6 cm, el ángulo H mide 60 grados, y el lado HI mide 8 cm. Si existe un triángulo JKL donde el lado JK mide 6 cm, el ángulo K mide 60 grados, y el lado KL mide 8 cm, podemos afirmar que los triángulos GHI y JKL son congruentes por el criterio LAL.
3 Congruencia por Ángulo-Lado-Ángulo (ALA)
Este criterio es especialmente útil en situaciones donde los ángulos son más fáciles de medir que los lados. Si tienes dos triángulos donde dos ángulos son iguales y el lado comprendido entre esos ángulos también es igual, entonces puedes afirmar que los triángulos son congruentes.
Imagina un triángulo MNO con los ángulos M y N midiendo 45 grados y el lado MN midiendo 10 cm. Si existe otro triángulo PQR donde los ángulos P y Q también miden 45 grados y el lado PQ mide 10 cm, entonces MNO es congruente con PQR por el criterio ALA. Esto es particularmente útil en la construcción y diseño, donde a menudo se necesita asegurar que las estructuras sean idénticas.
¿Qué son los criterios de semejanza?
Los criterios de semejanza se utilizan para determinar si dos figuras geométricas son semejantes, es decir, si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Esto significa que las proporciones entre sus lados son iguales, aunque sus dimensiones puedan variar. Al igual que los criterios de congruencia, existen varios criterios de semejanza aplicables a diferentes figuras. Los principales criterios de semejanza son:
- Semejanza por Lado-Lado-Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales.
- Semejanza por Lado-Ángulo-Lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si un lado es proporcional a otro y los ángulos opuestos son iguales.
- Semejanza por Ángulo-Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
1 Semejanza por Lado-Lado-Lado (LLL)
El criterio LLL de semejanza establece que si las longitudes de los lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. Por ejemplo, si un triángulo tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, y otro triángulo tiene lados de 6 cm, 8 cm y 10 cm, podemos observar que las longitudes de los lados del segundo triángulo son el doble de las del primero, lo que significa que ambos triángulos son semejantes.
Este criterio es especialmente útil en problemas donde se requiere escalar figuras. Por ejemplo, en la arquitectura, es común crear maquetas a escala que son semejantes a los edificios reales, permitiendo a los arquitectos visualizar el diseño antes de la construcción.
2 Semejanza por Lado-Ángulo-Lado (LAL)
El criterio LAL de semejanza se aplica cuando un lado de un triángulo es proporcional a un lado de otro triángulo y los ángulos opuestos son iguales. Si, por ejemplo, tenemos un triángulo STU donde el lado ST mide 5 cm, y un triángulo VWX donde el lado VW mide 10 cm, y además los ángulos U y X son iguales, entonces podemos concluir que los triángulos son semejantes.
Este criterio es muy utilizado en la resolución de problemas de triángulos en situaciones de la vida real, como en la navegación o en la construcción de rampas, donde es crucial mantener proporciones adecuadas para la funcionalidad y la seguridad.
3 Semejanza por Ángulo-Ángulo (AA)
El criterio AA es uno de los más simples y directos para establecer la semejanza. Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Este criterio es particularmente útil en situaciones donde los ángulos son más fáciles de medir que los lados.
Por ejemplo, si un triángulo ABC tiene ángulos de 30 y 60 grados, y otro triángulo DEF tiene ángulos de 30 y 60 grados, podemos afirmar que ambos triángulos son semejantes, independientemente de las longitudes de sus lados. Este criterio se aplica a menudo en la creación de modelos a escala y en la comparación de figuras en diversas aplicaciones matemáticas.
1. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Ejercicio 1
Dos triángulos son semejantes.
El lado del primero mide 6 cm y el correspondiente del segundo mide 12 cm.
¿Cuál es la razón de semejanza?
Respuesta:
Ejercicio 2
Un triángulo tiene lados 3, 4 y 5.
Otro triángulo semejante tiene un lado de 6 cm en lugar de 3 cm.
¿Cuánto miden los otros lados?
Respuesta:
2. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Ejercicio 3
Dos triángulos tienen:
- Lados: 5 cm, 7 cm y 9 cm
¿Son congruentes?
Respuesta:
Ejercicio 4
Dos triángulos tienen:
- Dos lados iguales
- El ángulo entre ellos igual
¿Qué criterio es?
Respuesta:
3. AUTOSIMILITUD
Ejercicio 5
Un cuadrado se divide en 4 cuadrados iguales.
¿Por qué es autosimilar?
Ejercicio 6
Un triángulo se divide en triángulos más pequeños iguales.
¿Qué tipo de figura es?
EJERCICIOS PARA QUE RESUELVAS
7.
Un triángulo tiene lados 4, 6 y 8.
Otro es semejante con lado 8 en lugar de 4.
8.
Dos triángulos tienen:
- Lado 10 cm
- Lado 12 cm
- Ángulo entre ellos igual
¿Son congruentes? ¿Por qué?
9.
Si una figura se repite a diferentes tamaños pero mantiene su forma:
¿Cómo se llama?
A) Congruente
B) Autosimilar
C) Paralela
D) Perpendicular
10.
Dos figuras tienen la misma forma pero diferente tamaño.
¿Qué son?
A) Congruentes
B) Semejantes
C) Iguales
D) Perpendiculares
SOPA DE LETRAS: semejanza, congruencia y autosimilitud
Instrucciones:
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S E M E J A N Z A Q W E R T YA U T O S I M I L I T U D U IL A D O S A S D F G H J K L OA N G U L O Z X C V B N M P AC O N G R U E N C I A T R E SF I G U R A S Q W E R T Y U IE S C A L A D F G H J K L O PT R I A N G U L O Z X C V B NR A Z O N Q W E R T Y U I O PS I M E T R I A A S D F G H J J
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